а) Для нахождения угла между векторами A1A2 и A1A3 воспользуемся формулой скалярного произведения векторов:

cos(угол) = (A1A2 A1A3) / (|A1A2| |A1A3|)

где A1A2 = (2 - 1; -3 - 0; 1 + 1) = (1; -3; 2)
A1A3 = (3 - 1; -5 - 0; -2 + 1) = (2; -5; -1)

|A1A2| = sqrt(1^2 + (-3)^2 + 2^2) = sqrt(1 + 9 + 4) = sqrt(14)
|A1A3| = sqrt(2^2 + (-5)^2 + (-1)^2) = sqrt(4 + 25 + 1) = sqrt(30)

(A1A2 A1A3) = 12 + (-3)(-5) + 2(-1) = 2 + 15 - 2 = 15

cos(угол) = 15 / (sqrt(14) * sqrt(30)) ≈ 1.03
угол ≈ arccos(1.03) ≈ 0.534 радиан ≈ 30.63 градусов

б) Для нахождения площади грани A1A2A3 воспользуемся формулой площади треугольника по трём сторонам:

Пусть a = |A1A2|, b = |A1A3|, c = |A2A3|.
Тогда полупериметр p = (a + b + c) / 2
Площадь S = sqrt(p(p-a)(p-b)*(p-c))

c = |A2A3| = sqrt((2-3)^2 + (-3+5)^2 + (1+2)^2) = sqrt(1 + 4 + 9) = sqrt(14)

p = (|A1A2| + |A1A3| + |A2A3|) / 2 = (sqrt(14) + sqrt(30) + sqrt(14)) / 2
= (sqrt(14) + sqrt(14) + sqrt(30)) / 2 ≈ (3.742 + 3.742 + 5.477) / 2 ≈ 6.480

S = sqrt(6.480 (6.480 - sqrt(14)) (6.480 - sqrt(30)) * (6.480 - sqrt(14)) ≈ 4.008

Площадь грани A1A2A3 ≈ 4.008

в) Уравнение плоскости через точки A1, A2 и A3 можно найти, используя метод векторного произведения.

Для этого найдем векторы AB = A2 - A1 и AC = A3 - A1:
AB = (2 - 1; -3 - 0; 1 + 1) = (1; -3; 2)
AC = (3 - 1; -5 - 0; -2 + 1) = (2; -5; -3)

Теперь найдем векторное произведение этих векторов:
n = AB x AC = i(3-3 - 25) - j(21 - 23) + k(2(-3) - 1(-5))
= i(-9 - 10) - j(2 - 6) + k(-6 + 5)
= i(-19) - j(-4) + k(-1)
= 19i - 4j - k

Теперь подставим найденные координаты в уравнение плоскости:
19(x - 1) - 4(y - 0) - (z + 1) = 0
19x - 19 - 4y + 0 - z - 1 = 0
19x - 4y - z - 20 = 0
Уравнение плоскости: 19x - 4y - z - 20 = 0

г) Уравнение высоты, проходящей через точку A4 и перпендикулярной плоскости A1A2A3:
Уравнение плоскости, проходящей через точки A2, A3 и A4: 19x - 4y - z - 20 = 0
Теперь используем формулу уравнения плоскости в общем виде:
Ax + By + Cz + D = 0

Выразим прямую через точку A4 и перпендикулярную плоскости A1A2A3 и получим требуемое уравнение высоты.

A4(-2,1,-3)

Прямая проходящая через точку A4 и перпендикулярная плоскости A1A2A3:
x = -2 + 19t
y = 1 - 4t
z = -3 - t

д) Объем пирамиды равен 1/3 площади основания, умноженной на высоту.

Площадь основания равна площади треугольника A1A2A3, которую мы нашли в пункте б).
Высота пирамиды - это расстояние от вершины A4 до плоскости A1A2A3, которое можно найти как расстояние от точки до плоскости:

h = |Ax + By + Cz + D| / sqrt(A^2 + B^2 + C^2)

Для уравнения плоскости A1A2A3 получаем A = 19, B = -4, C = -1, D = -20:
h = |19(-2) - 41 - (-1)(-3) - 20| / sqrt(19^2 + (-4)^2 + (-1)^2)
= | -38 - 4 + 3 - 20| / sqrt(361 + 16 + 1)
= 46 / sqrt(378)
= 46 / (sqrt(378))
= 46 / (3sqrt(42))
= 46 / 3 * sqrt(42)

Теперь можем найти объем пирамиды:
V = 1/3 S h = 1/3 4.008 (46 / 3 * sqrt(42))
V ≈ 27.126 единиц^3