Для начала преобразуем tg$x$ и ctg$x$ в виде синуса и косинуса:

tg$x$ = sin$x$ / cos$x$ ctg$x$ = cos$x$ / sin$x$

Подставим в данное выражение и преобразуем:

1 - tg$x$ / $1-ctg(x)$ = 1 - $sin(x)/cos(x)$ / $1-(cos(x)/sin(x))$ = 1 - $sin(x)/cos(x)$ / $(sin(x)-cos(x))/sin(x)$ = 1 - $sin(x)/cos(x)$ $sin(x)/(sin(x)-cos(x))$ = 1 - sin^2$x$ / $cos(x)</em>(sin(x)-cos(x))$

Последний шаг - сократим sin^2$x$ и cos$x$:

1 - sin^2$x$ / $cos(x)<em>(sin(x)-cos(x))$ = $co{s}^2(x)-si{n}^2(x)$ / $cos(x)</em>(sin(x)-cos(x))$ = $(cos(x)-sin(x))<em>(cos(x)+sin(x))$ / $cos(x)</em>(sin(x)-cos(x))$ = $cos(x)+sin(x)$ / $-cos(x)$ = -1 - tan$x$

Итак, итоговый ответ: -1 - tan$x$