Поскольку диагональ AC является биссектрисой угла A, то угол BAC равен 15 градусов, угол ACD также равен 15 градусам.

Так как углы BAC и ACD равны, то треугольник ABC равнобедренный. Значит, угол ABC составляет (180-15-15)/2 = 75 градусов.

Из этого следует, что угол BCD также равен 75 градусам.

Теперь можем найти площадь треугольника ABC:

S_ABC = (1/2) AB BC sin(75°) = (1/2) 4 BC sin(75°).

Из тригонометрических свойств синуса 75 градусов мы можем выразить его через синус 15 градусов:

sin(75°) = sin(45° + 30°) = sin(45°)cos(30°) + cos(45°)sin(30°) = (√2/2 √3/2) + (√2/2 1/2) = (√6 + √2) / 4.

Таким образом:

S_ABC = (1/2) 4 BC ((√6 + √2) / 4) = 2 BC (√6 + √2) / 4 = BC (√6 + √2) / 2.

Теперь зная, что AB = 4 и BC = AD, мы можем найти AD по теореме Пифагора в треугольнике ABC:

AD^2 = AB^2 + BC^2 = 4^2 + BC^2.

Так как AD = BC, то:

2 * BC^2 = 16,

BC^2 = 8.

Отсюда:

BC = AD = √8 = 2√2.

Теперь можем найти площадь параллелограмма ABCD:

S_ABCD = 2 S_ABC = 2 AD (sqrt(6) + sqrt(2)) / 2 = AD (sqrt(6) + sqrt(2)) = 2√2 * (√6 + √2) = 2√12 + 2√2 = 2√4√3 + 2√2 = 4√3 + 2.
Таким образом, площадь параллелограмма ABCD равна 4√3 + 2.