Элементы аналитической геометрии. Алгебра и геометрия Даны координаты точек A(6,1,1),B(4,6,6),C(4,2,0),D(1,2,6)
-синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD (AC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
- косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD (AC,BDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
-косинус угла между гранями ABC и BCD (ABC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
Элементы аналитической геометрии. Алгебра и геометрия Даны координаты точек A(6,1,1),B(4,6,6),C(4,2,0),D(1,2,6)
-синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD (AC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
- косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD (AC,BDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
-косинус угла между гранями ABC и BCD (ABC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
-синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD (AC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
- косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD (AC,BDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
-косинус угла между гранями ABC и BCD (ABC,BCDˆ)
с точностью до трех знаков после запятой
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для нахождения этих углов нам сначала нужно найти векторы ребер и нормали к плоскостям граней.
Вектор ребра AC:AC→=(4−6 2−1 0−1)=(−2 1 −1) \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 4-6 \ 2-1 \ 0-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} AC=(4−6 2−1 0−1 )=(−2 1 −1 )
Нормаль к плоскости BCD:
для плоскости BCD нормаль можно найти как векторное произведение векторов BC и BD.
Вектор BC:
BC→=(4−4 2−6 0−6)=(0 −4 −6) \overrightarrow{BC} = \begin{pmatrix} 4-4 \ 2-6 \ 0-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ -4 \ -6 \end{pmatrix} BC=(4−4 2−6 0−6 )=(0 −4 −6 )
Вектор BD:
BD→=(1−4 2−2 6−0)=(−3 0 6) \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 1-4 \ 2-2 \ 6-0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 6 \end{pmatrix} BD=(1−4 2−2 6−0 )=(−3 0 6 )
Нормаль к плоскости BCD:
Синус угла между ребром AC и плоскостью грани BCD:nBCD→=BC→×BD→=(24 0 12) \overrightarrow{n_{BCD}} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix} nBCD =BC×BD=(24 0 12 )
Синус угла между векторами определяется как длина векторного произведения векторов, деленная на произведение длин векторов.
sin(∠AC,BCD)=∣AC→×n<em>BCD→∣∣AC→∣×∣n</em>BCD→∣ \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \overrightarrow{AC} \times \overrightarrow{n<em>{BCD}} |}{| \overrightarrow{AC} | \times | \overrightarrow{n</em>{BCD}} |} sin(∠AC,BCD)=∣AC∣×∣n</em>BCD ∣∣AC×n<em>BCD ∣
Подставим значения в формулу и рассчитаем:
sin(∠AC,BCD)=∣(−2 1 −1)×(24 0 12)∣6×600 \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix} |}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} sin(∠AC,BCD)=6 ×600 ∣(−2 1 −1 )×(24 0 12 )∣ sin(∠AC,BCD)=∣(12 −12 24)∣6×600=122+(−12)2+2426×600 \sin(\angle AC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} 12 \ -12 \ 24 \end{pmatrix} |}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} = \frac{\sqrt{12^2 + (-12)^2 + 24^2}}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}}sin(∠AC,BCD)=6 ×600 ∣(12 −12 24 )∣ =6 ×600 122+(−12)2+242 sin(∠AC,BCD)=144+144+5766×600=8643600=2460=0.4 \sin(\angle AC,BCD) = \frac{\sqrt{144 + 144 + 576}}{\sqrt{6} \times \sqrt{600}} = \frac{\sqrt{864}}{\sqrt{3600}} = \frac{24}{60} = 0.4 sin(∠AC,BCD)=6 ×600 144+144+576 =3600 864 =6024 =0.4
Ответ: sin(∠AC,BCD)=0.4\sin(\angle AC,BCD) = 0.4sin(∠AC,BCD)=0.4
Косинус угла между скрещивающимися прямыми AC и BD:Косинус угла между прямыми равен скалярному произведению нормированных векторов.
cos(∠AC,BD)=AC→⋅BD→∣AC→∣×∣BD→∣ \cos(\angle AC,BD) = \frac{\overrightarrow{AC} \cdot \overrightarrow{BD}}{| \overrightarrow{AC} | \times | \overrightarrow{BD} |} cos(∠AC,BD)=∣AC∣×∣BD∣AC⋅BD
Вычислим и подставим значения:
cos(∠AC,BD)=(−2 1 −1)⋅(−3 0 6)6×45 \cos(\angle AC,BD) = \frac{\begin{pmatrix} -2 \ 1 \ -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} -3 \ 0 \ 6 \end{pmatrix}}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} cos(∠AC,BD)=6 ×45 (−2 1 −1 )⋅(−3 0 6 ) cos(∠AC,BD)=−6+0−66×45=−126×45=−12270=−12330=−430≈−0.730 \cos(\angle AC,BD) = \frac{-6 + 0 - 6}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} = \frac{-12}{\sqrt{6} \times \sqrt{45}} = \frac{-12}{\sqrt{270}} = \frac{-12}{3\sqrt{30}} = -\frac{4}{\sqrt{30}} \approx -0.730 cos(∠AC,BD)=6 ×45 −6+0−6 =6 ×45 −12 =270 −12 =330 −12 =−30 4 ≈−0.730
Ответ: cos(∠AC,BD)≈−0.730\cos(\angle AC,BD) \approx -0.730cos(∠AC,BD)≈−0.730
Косинус угла между гранями ABC и BCD:Косинус угла между двумя плоскостями равен модулю скалярного произведения их нормалей, деленному на произведение длин нормалей.
cos(∠ABC,BCD)=∣n<em>ABC→⋅n</em>BCD→∣∣n<em>ABC→∣×∣n</em>BCD→∣ \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{|\overrightarrow{n<em>{ABC}} \cdot \overrightarrow{n</em>{BCD}}|}{| \overrightarrow{n<em>{ABC}} | \times | \overrightarrow{n</em>{BCD}} |} cos(∠ABC,BCD)=∣n<em>ABC ∣×∣n</em>BCD ∣∣n<em>ABC ⋅n</em>BCD ∣
Найдем нормаль к плоскости ABC:
для плоскости ABC нормаль можно найти как векторное произведение векторов AB и AC.
AB→=(4−6 6−1 6−1)=(−2 5 5) \overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} 4-6 \ 6-1 \ 6-1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -2 \ 5 \ 5 \end{pmatrix} AB=(4−6 6−1 6−1 )=(−2 5 5 )
Нормаль к плоскости ABC:
nABC→=AB→×AC→=(5 20 −17) \overrightarrow{n_{ABC}} = \overrightarrow{AB} \times \overrightarrow{AC} = \begin{pmatrix} 5 \ 20 \ -17 \end{pmatrix} nABC =AB×AC=(5 20 −17 )
Вычислим косинус угла между гранями и рассчитаем:
cos(∠ABC,BCD)=∣n<em>ABC→⋅n</em>BCD→∣570×600 \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{|\overrightarrow{n<em>{ABC}} \cdot \overrightarrow{n</em>{BCD}}|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} cos(∠ABC,BCD)=570 ×600 ∣n<em>ABC ⋅n</em>BCD ∣ cos(∠ABC,BCD)=∣(5 20 −17)⋅(24 0 12)∣570×600 \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{| \begin{pmatrix} 5 \ 20 \ -17 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 24 \ 0 \ 12 \end{pmatrix}|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} cos(∠ABC,BCD)=570 ×600 ∣(5 20 −17 )⋅(24 0 12 )∣ cos(∠ABC,BCD)=∣120−340∣570×600=∣−220∣570×600=220342000=22060057=11030057=113057≈0.114 \cos(\angle ABC,BCD) = \frac{| 120 - 340|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} = \frac{|-220|}{\sqrt{570} \times \sqrt{600}} = \frac{220}{\sqrt{342000}} = \frac{220}{600\sqrt{57}} = \frac{110}{300\sqrt{57}} = \frac{11}{30\sqrt{57}} \approx 0.114 cos(∠ABC,BCD)=570 ×600 ∣120−340∣ =570 ×600 ∣−220∣ =342000 220 =60057 220 =30057 110 =3057 11 ≈0.114
Ответ: cos(∠ABC,BCD)≈0.114\cos(\angle ABC,BCD) \approx 0.114cos(∠ABC,BCD)≈0.114