Данное дифференциальное уравнение второго порядка можно решить с помощью характеристического уравнения.

Характеристическое уравнение:
r^2 - 4 = 0

Таким образом, корни характеристического уравнения равны:
r1 = 2, r2 = -2

Теперь общее решение дифференциального уравнения имеет вид:
y$t$ = c1e^$2t$ + c2e^$-2t$

Для нахождения констант c1 и c2 воспользуемся начальными условиями:

y$0$ = c1 + c2 = 1
y'$0$ = 2c1 - 2c2 = 2

Решив данную систему уравнений, получим: c1 = 0.5, c2 = 0.5

Таким образом, частное решение дифференциального уравнения задачи Коши будет иметь вид:
y$t$ = 0.5e^$2t$ + 0.5e^$-2t$