Для того чтобы найти площадь четырехугольника ABCD, нам необходимо разделить его на два треугольника и найти сначала площадь каждого из них.

Площадь треугольника ABC:
AB = √((1-2)^2 + (4-7)^2) = √5
BC = √((2-1)^2 + (1-4)^2) = √10
AC = √((2-2)^2 + (1-7)^2) = 6

Полупериметр треугольника ABC:
p = (√5+√10+6) / 2 = (5+3+6)/2 = 7

Площадь треугольника ABC по формуле Герона:
S_ABC = √(7(7-√5)(7-√10)(7-6)) = 4.5

Площадь треугольника ACD:
AD = √((4-2)^2 + (4-7)^2) = √13
CD = √((4-2)^2 + (4-1)^2) = √17
AC = √((2-2)^2 + (7-1)^2) = 6

Полупериметр треугольника ACD:
p = (√13+√17+6) / 2 = (3.6+4.1+6)/2 = 6.85

Площадь треугольника ACD по формуле Герона:
S_ACD = √(6.85(6.85-√13)(6.85-√17)(6.85-6)) ≈ 7

Итак, площадь четырехугольника ABCD равна сумме площадей треугольников ABC и ACD:
S = S_ABC + S_ACD ≈ 4.5 + 7 ≈ 11.5

Ответ: площадь четырехугольника ABCD составляет около 11.5.