Для начала найдем уравнение касательной к окружности в точке (5;4).

Для этого найдем производные и подставим координаты точки (5;4):
Уравнение окружности: x^2 - 6x + y^2 - 4y + 5 = 0

Найдем производные по x и по y:
d/dx (x^2 - 6x + y^2 - 4y + 5) = 0
2x - 6 + y * dy/dx = 0

d/dy (x^2 - 6x + y^2 - 4y + 5) = 0
x * dx/dy + 2y - 4 = 0

Подставим координаты точки (5;4):
2 5 - 6 + 4 dy/dx = 0
10 - 6 + 4 dy/dx = 0
4 dy/dx = -4
dy/dx = -1

5 dx/dy + 2 4 - 4 = 0
5 dx/dy + 8 - 4 = 0
5 dx/dy = -4
dx/dy = -4/5

Теперь составим уравнение касательной в точке (5;4):
y - 4 = (-4/5) * (x - 5)

y - 4 = -4/5 x + 4
y = -4/5 x + 8

Таким образом, уравнение касательной к окружности в точке (5;4) имеет вид y = -4/5 * x + 8.

Далее найдем точки пересечения этой прямой с осями координат:
x = 0: y = -4/5 0 + 8 = 8
y = 0: 0 = -4/5 x + 8
4/5 * x = 8
x = 10

Итак, получаем вершины треугольника: (0;8), (10;0), (5;4).

Теперь найдем площадь треугольника по формуле для площади треугольника на плоскости:
S = 0.5 |x1(y2-y3) + x2(y3-y1) + x3(y1-y2)|

S = 0.5 |0(4-0) + 10(0-8) + 5(8-4)|
S = 0.5 |0 + 10(-8) + 54|
S = 0.5 |-80 + 20|
S = 0.5 * |-60|
S = 30

Площадь треугольника, ограниченного осями координат и касательной к окружности в точке (5;4), равна 30.