Для начала обратимся к теореме синусов в треугольнике ABC:

Отношение сторон треугольника ABC равно отношению синусов противолежащих им углов:
[ \frac{BC}{\sin{A}} = \frac{AB}{\sin{C}} = \frac{AC}{\sin{B}} ]

Так как мы знаем углы треугольника ABC, мы можем выразить ( \sin{A}, \sin{B}, \sin{C} ) следующим образом:
[ \sin{A} = \sin{60^\circ}, \sin{B} = \sin{40^\circ}, \sin{C} = \sin{80^\circ} ]

Теперь разберем угол PBC. Известно, что угол PAC = 40°, угол PCA = 30° и угол PBC нам нужно найти. Так как мы уже знаем углы PBC и BAC, можно заметить, что треугольники PBC и BAC подобны по двум углам. Таким образом:

[ \frac{BC}{AB} = \frac{PC}{AC} ]

Теперь выразим отношение сторон треугольника ABC:
[ \frac{\sin{60^\circ}}{\sin{40^\circ}} = \frac{PC}{AC} ]

Известно, что угол PAC = 40°, а значит угол CAP = 110°. Теперь можем выразить AC относительно PC:
[ \frac{AC}{PC} = \frac{\sin{110^\circ}}{\sin{40^\circ}} ]

Теперь подставим эту информацию в соотношение отношения сторон треугольника ABC:

[ \frac{\sin{60^\circ}}{\sin{40^\circ}} = \frac{\sin{110^\circ}}{\sin{40^\circ}} ]

Упростим это уравнение:
[ \sin{60^\circ} = \sin{110^\circ} ]

Такого угла не существует, следовательно, каким бы ни был угол PBC, он не может быть определен.