Решение задачи по математике В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами равными 10 см и 12 см. Основание высоты пирамиды лежит квадрата и удалено от двух его сторон AB и AD на расстояния, равные 2см и 3см. Через высоту пирамиды, равную 10 см, проведено сечение таким образом, что отношение объемов полученных частей – наибольшее.
а). Выполните чертеж и необходимые дополнительные построения.
б). Обоснуйте условия наибольшего отношения полученных объемов
в). Найдите отношение полученных объемов.
Решение задачи по математике В основании четырехугольной пирамиды SABCD лежит прямоугольник со сторонами равными 10 см и 12 см. Основание высоты пирамиды лежит квадрата и удалено от двух его сторон AB и AD на расстояния, равные 2см и 3см. Через высоту пирамиды, равную 10 см, проведено сечение таким образом, что отношение объемов полученных частей – наибольшее.
а). Выполните чертеж и необходимые дополнительные построения.
б). Обоснуйте условия наибольшего отношения полученных объемов
в). Найдите отношение полученных объемов.
а). Выполните чертеж и необходимые дополнительные построения.
б). Обоснуйте условия наибольшего отношения полученных объемов
в). Найдите отношение полученных объемов.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
а) На рисунке ниже изображен чертеж задачи.
A,B,C,D−вершины четырехугольной пирамиды S−центр квадрата E,F−точки на сторонах AB и AD, соответственно \begin{array}{l}
A, B, C, D - \text{вершины четырехугольной пирамиды} \
S - \text{центр квадрата} \
E, F - \text{точки на сторонах AB и AD, соответственно}
\end{array}
A,B,C,D−вершины четырехугольной пирамиды S−центр квадрата E,F−точки на сторонах AB и AD, соответственно
AB‾=12 см,AD‾=10 см BE‾=2 см,DF‾=3 см Высота пирамиды h=10 см \begin{array}{l}
\overline{AB} = 12 \text{ см}, \overline{AD} = 10 \text{ см} \
\overline{BE} = 2 \text{ см}, \overline{DF} = 3 \text{ см} \
\text{Высота пирамиды } h = 10 \text{ см}
\end{array}
AB=12 см,AD=10 см BE=2 см,DF=3 см Высота пирамиды h=10 см
EF⊥AB,EF⊥AD EF - высота hp GH=10 см \begin{array}{l}
EF \perp AB, EF \perp AD \
EF \text{ - высота } h_p \
GH = 10 \text{ см}
\end{array}
EF⊥AB,EF⊥AD EF - высота hp GH=10 см
BE2+EA2=BA2⇒EA=AB2−BE2=122−22=142 DF2+AF2=AD2⇒AF=AD2−DF2=102−32=91 \begin{array}{l}
BE^2 + EA^2 = BA^2 \Rightarrow EA = \sqrt{AB^2 - BE^2} = \sqrt{12^2 - 2^2} = \sqrt{142} \
DF^2 + AF^2 = AD^2 \Rightarrow AF = \sqrt{AD^2 - DF^2} = \sqrt{10^2 - 3^2} = \sqrt{91}
\end{array}
BE2+EA2=BA2⇒EA=AB2−BE2 =122−22 =142 DF2+AF2=AD2⇒AF=AD2−DF2 =102−32 =91
б) Пусть объем большей части пирамиды равен V1V_1V1 , а объем меньшей части равен V2V_2V2 . Тогда, для определения условий наибольшего отношения объемов V1/V2V_1/V_2V1 /V2 , обратимся к теореме о сечениях пирамиды плоскостями, параллельными основанию:
V1V2=(hph)3 \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{h_p}{h} \right)^3
V2 V1 =(hhp )3
Таким образом, наибольшее отношение объемов будет, когда высота площади EF равна высоте пирамиды h, т.е. hp=h=10 смh_p = h = 10 \text{ см}hp =h=10 см.
в) Подставим hp=10 смh_p = 10 \text{ см}hp =10 см в формулу и найдем отношение объемов:
V1V2=(1010)3=1 \frac{V_1}{V_2} = \left( \frac{10}{10} \right)^3 = 1
V2 V1 =(1010 )3=1
Ответ: Отношение объемов полученных частей равно 1.