Применение производной в исследовании функции включает в себя определение монотонности и точек экстремума функции.

Монотонность функции: для определения монотонности функции используется производная. Если производная положительна на определенном интервале, то функция монотонно возрастает на этом интервале. Если производная отрицательна, то функция монотонно убывает.

Экстремумы функции: экстремумы функции могут быть локальными (локальный минимум или максимум) или глобальными (глобальный минимум или максимум). Для определения экстремумов функции используется производная, а именно, точки, в которых производная равна нулю или не существует, могут быть точками экстремума.

Таким образом, производная функции играет ключевую роль в исследовании ее монотонности и нахождении экстремумов. Она помогает определить поведение функции на определенных интервалах и выявить особенности ее поведения в точках экстремума.