Для начала определим обозначения:

P(A) - булеан множества A, то есть множество всех подмножеств множества A

P(A ∩ B) - булеан пересечения множеств A и B

P(A) ∩ P(B) - пересечение булеанов множеств A и B

Теперь докажем равенство P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B):

Включение P(A ∩ B) ⊆ P(A) ∩ P(B):

Пусть X - произвольный элемент из P(A ∩ B). Тогда X является подмножеством множества A ∩ B. Это значит, что X содержится как в множестве A, так и в множестве B. Значит, X принадлежит как к булеану P(A), так и к булеану P(B). Таким образом, X принадлежит пересечению P(A) и P(B), то есть X ∈ P(A) ∩ P(B).

Таким образом, мы доказали, что если X принадлежит P(A ∩ B), то X принадлежит P(A) ∩ P(B), что означает включение в одну сторону.

Включение P(A) ∩ P(B) ⊆ P(A ∩ B):

Пусть Y - произвольный элемент из P(A) ∩ P(B). Тогда Y принадлежит как к булеану P(A), так и к булеану P(B). Это значит, что Y является подмножеством множества A и подмножеством множества B. Следовательно, Y также является подмножеством множества A ∩ B, так как содержится и в A, и в B.

Таким образом, мы доказали, что если Y принадлежит P(A) ∩ P(B), то Y принадлежит P(A ∩ B), что означает включение в другую сторону.

С учетом обеих включений мы можем сделать вывод, что множества P(A ∩ B) и P(A) ∩ P(B) равны. Таким образом, P(A ∩ B) = P(A) ∩ P(B) - равенство доказано.