Для того, чтобы найти все пары натуральных чисел x и y, удовлетворяющие уравнению x^2 = 4y^2 + 13, можно воспользоваться следующим способом:

Преобразуем уравнение x^2 = 4y^2 + 13 к виду x^2 - 4y^2 = 13.Заметим, что данное уравнение является уравнением Пелля, т.е. уравнением вида x^2 - Dy^2 = 1, где D - целое число, не являющееся полным квадратом. В данном случае D = 4.Решим уравнение Пелля x^2 - 4y^2 = 13. Пары натуральных чисел, удовлетворяющие этому уравнению, можно найти с помощью теоремы об общем решении уравнения Пелля.Сначала найдем первое решение уравнения Пелля, для этого можно воспользоваться методом продолжений Брахмагупты. Первое решение уравнения будет равно x = 7, y = 2.После находим все остальные решения уравнения, используя формулы для рекуррентного представления решений уравнения Пелля.

Таким образом, все пары натуральных чисел x и y, удовлетворяющие уравнению x^2 = 4y^2 + 13, могут быть найдены с помощью вышеприведенного метода.