Точки D и E на сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC такие, что DE касается вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите сторону треугольника ABC, если CE = 2, BD = 3.
Точки D и E на сторонах AB и AC равностороннего треугольника ABC такие, что DE касается вписанной в треугольник ABC окружности. Найдите сторону треугольника ABC, если CE = 2, BD = 3.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Обозначим сторону треугольника ABC как x. Так как треугольник ABC равносторонний, то DE является высотой треугольника ABC, а также биссектрисой угла BAC. Пусть точка O - центр вписанной окружности треугольника ABC.
Так как DE касается вписанной окружности, то согласно свойству касательных, EO = OD = r, где r - радиус вписанной окружности.
Построим высоту из точки C к стороне AB треугольника ABC и обозначим точку пересечения DE с AB как F. Так как треугольник ABC равносторонний, то CF также является высотой, а значит DF = x - 3.
Рассмотрим правильный треугольник CDO. По теореме Пифагора:
CD^2 = CO^2 + DO^2
2^2 = r^2 + r^2
4 = 2r^2
r = √2
Теперь рассмотрим правильный треугольник EFD. По теореме Пифагора:
EF^2 = DF^2 + DE^2
2√22√22√2^2 = x−3x - 3x−3^2 + x^2
8 = x^2 - 6x + 9 + x^2
2x^2 - 6x - 1 = 0
x^2 - 3x - 1/2 = 0
Решая это квадратное уравнение, получаем x = 3 + √7.
Итак, сторона треугольника ABC равна 3 + √7.