Для нахождения наименьшего значения выражения можно воспользоваться методом завершения квадрата.

Сначала перепишем данное выражение:
10y^2 - 6xy - 8y + x^2 + 19

Разобьем его на две части:
(10y^2 - 8y) - 6xy + x^2 + 19

Теперь завершим квадрат для части с участием переменной y:
10(y^2 - 0.8y) - 6xy + x^2 + 19

Добавим и вычтем квадрат от половины коэффициента перед y, который равен 0.4:
10(y^2 - 0.8y + 0.4^2 - 0.4^2) - 6xy + x^2 + 19
10(y^2 - 0.8y + 0.16) - 6xy + x^2 + 19

Теперь завершим квадрат для части с переменной x:
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 + 19

Добавим и вычтем квадрат от половины коэффициента перед x, который равен 3:
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 - 3^2 + 3^2 + 19
10(y^2 - 0.8y + 0.16) -6xy + x^2 + x^2 - 9 + 9 + 19

Теперь преобразуем выражение к виду суммы квадратов:
10(y^2 - 0.8y + 0.16) + (x^2 - 3)^2 + 19

Теперь заменим y на 0.4 и x на 3 в найденном выражении:
10(0.4^2 - 0.8*0.4 + 0.16) + (3^2 - 3)^2 + 19
10(0.16 - 0.32 + 0.16) + (9 - 3)^2 + 19
10(0) + (6)^2 + 19
0 + 36 + 19
55

Таким образом, наименьшее значение выражения 10y^2 - 6xy - 8y + x^2 + 19 равно 55.