Для того чтобы найти вероятность того, что случайно выбранное натуральное число n, удовлетворяющее условию $514\le n\le 634$, делится на 51, нужно рассмотреть все числа от 514 до 634, которые делятся на 51.

Сначала найдем минимальное число в данном интервале, которое делится на 51. Для этого нужно найти наименьшее общее кратное 51 и 634. Наименьшее общее кратное $НОК$ равно $51\ast 634/\text{НОД}(51,634)=32334$. Таким образом, ближайшее число, кратное 51 и входящее в интервал от 514 до 634, равно 561.

Теперь нужно найти количество чисел в этом интервале, которые делятся на 51. Это задача на арифметическую прогрессию: $561=51+(n-1)\ast 51$, где $n$ - количество чисел. Решая это уравнение, получаем $n=7$. Таким образом, всего 7 чисел от 514 до 634 делятся на 51.

Всего натуральных чисел в интервале от 514 до 634: $634-514+1=121$.

Итак, вероятность того, что случайно выбранное число в интервале от 514 до 634 делится на 51, равна $7/121\approx 0.0579$ или около 5.79%.