Давайте решим это неравенство методом интервалов.

Сначала разложим дробь (12x^2 + 4x - 20) / (x - 5) на сумму двух частей с помощью долгого деления или метода неопределенных коэффициентов:

12x^2 + 4x - 20 = (x - 5) * (12x + 24) + 100

Следовательно, (12x^2 + 4x - 20) / (x - 5) = 12x + 24 + 100 / (x - 5)

Подставим это обратно в исходное неравенство:

x^3 + 3x^2 + 12x + 24 + 100 / (x-5) ≤ 4

Приведем все члены к общему знаменателю:

x^3(x - 5) + 3x^2(x - 5) + 12x(x - 5) + 24(x - 5) + 100 ≤ 4(x - 5)

x^3x - 5x^3 + 3x^2x - 15x^2 + 12x*x - 60x + 24x - 120 + 100 ≤ 4x - 20

x^3 - 5x^2 + 3x^2 - 15x + 12x - 60 + 24 - 120 + 100 ≤ 4x - 20

x^3 - 2x^2 - 3x - 56 ≤ 4x - 20

x^3 - 2x^2 - 3x - 56 - 4x + 20 ≤ 0

x^3 - 2x^2 - 7x - 36 ≤ 0

Теперь мы можем решить это неравенство методом интервалов:

Так как x - 5 не может быть равен 0, а значит x не равен 5, проверим точку x = 5 в неравенстве.

5^3 - 25^2 - 75 - 36 = 125 - 50 - 35 - 36 = 4

Точка x = 5 не удовлетворяет неравенству, значит, исключаем ее из интервала.

Теперь найдем корни уравнения x^3 - 2x^2 - 7x - 36 = 0, чтобы разделить пространство на интервалы проверки:

x^3 - 2x^2 - 7x - 36 = (x + 3)(x - 6)(x + 2) = 0

Корни: x = -3, x = 6, x = -2

Интервалы:

x ∈ (-∞, -3)x ∈ (-3, -2)x ∈ (-2, 6)x ∈ (6, ∞)

Теперь проверим каждый из этих интервалов подставив значения в неравенство:

x = -4: (-4)^3 - 2(-4)^2 - 7(-4) - 36 = -64 > 0x = -2.5: (-2.5)^3 - 2(-2.5)^2 - 7(-2.5) - 36 = -22.875 < 0x = 0: 0^3 - 20^2 - 70 - 36 = -36 < 0x = 7: 7^3 - 27^2 - 77 - 36 = 413 > 0

Ответ: x ∈ (-3, -2) ∪ (6, ∞)