Сложная задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC
за точку C отмечены точки E и F соответственно так, что AE = CF =
AC. Прямые EC и AF пересекаются в точке D. Докажите, что прямая,
проходящая через D перпендикулярно AC, содержит центр вневписанной
окружности треугольника ABC.
Сложная задачка по геометрии В треугольнике ABC на стороне AB и на продолжении стороны BC
за точку C отмечены точки E и F соответственно так, что AE = CF =
AC. Прямые EC и AF пересекаются в точке D. Докажите, что прямая,
проходящая через D перпендикулярно AC, содержит центр вневписанной
окружности треугольника ABC.
за точку C отмечены точки E и F соответственно так, что AE = CF =
AC. Прямые EC и AF пересекаются в точке D. Докажите, что прямая,
проходящая через D перпендикулярно AC, содержит центр вневписанной
окружности треугольника ABC.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Доказательство:
Обозначим точку пересечения прямых AE и CF за G.
Так как AE = AC, то треугольник AEC является равнобедренным, поэтому угол AEC = угол EAC.
Также, так как CF = AC, то треугольник AFC является равнобедренным, поэтому угол AFC = угол FAC.
Отсюда следует, что угол AEC + угол AFC = угол EAC + угол FAC = угол BAC.
Так как сумма углов треугольника равна 180 градусам, получаем:
угол EAC + угол FAC + угол A = 180 градусов,
то есть угол EAC + угол AFC + угол A = 180 градусов.
Так как угол EAC = угол AFC (из равнобедренности треугольников), получаем:
2угол EAC + угол A = 180 градусов,
то есть 2угол BAC = 180 градусов,
и, следовательно, угол BAC = 90 градусов.
Таким образом, прямая, проходящая через точку D и перпендикулярная AC, является высотой треугольника ABC, и, как известно, проходит через центр вневписанной окружности треугольника ABC.