Пусть исходная длина ребра куба равна a, тогда его объем равен V = a^3.

Если длину ребра увеличить на 5, то новая длина ребра будет a + 5, а новый объем будет $a+5$^3.

Из условия задачи известно, что новый объем увеличится на 1685 см3, то есть $a+5$^3 - a^3 = 1685.

$a+5$^3 - a^3 = a^3 + 3a^2 5 + 3a 5^2 + 5^3 - a^3 = 3a^2 5 + 3a 5^2 + 5^3 = 1685.

Подставляем известные значения:

3a^2 5 + 3a 5^2 + 5^3 = 1685,
15a^2 + 75a + 125 = 1685,
15a^2 + 75a - 1560 = 0.

Далее решаем квадратное уравнение:

D = 75^2 - 4 15 $-1560$ = 5625 + 93600 = 99225.

a = $-75\pm \surd 99225$ / 30 = $-75\pm 315$ / 30.

a1 = $315-75$ / 30 = 8,
a2 = $-315-75$ / 30 = -13/3.

Так как длина ребра куба не может быть отрицательной, то a = 8.

Итак, длина ребра куба равна 8 см.