Данный ряд представляет собой знакочередующийся ряд, состоящий из элементов tg^n * x, где n изменяется от 1 до бесконечности.

Для нахождения суммы данного ряда, можно воспользоваться признаком абсолютной сходимости. Для начала рассмотрим ряд из модулей элементов данного ряда: Σ|tg^n * x|.

Поскольку модуль tg^n x равен tg^n |x| (тангенс угла неотрицателен), данный ряд можно рассмотреть как сходящийся ряд из тангенсов, который сходится при |tg x| < 1, т.е. в интервале (-π/2, π/2).

Таким образом, ряд сходится абсолютно в указанном интервале, и мы можем применить свойство линейности суммы ряда, что позволит нам перейти к вычислению суммы ряда изначальных элементов.

Таким образом, сумма ряда ∞ n=1 Σ(-1)^n+1 tg^n x равна tg x при |tg x| < 1, и расходится в остальных случаях.