Для того чтобы исследовать функцию y=(4(x+1)^2)/(x^2+2x+4) и построить её график, мы можем использовать следующие шаги:

Найдем асимптоты функции:
a) Горизонтальная асимптота: чтобы найти горизонтальную асимптоту, мы можем рассмотреть предел функции при x стремящемся к бесконечности.
lim (x -> +∞) y = lim (x -> +∞) (4(x+1)^2)/(x^2+2x+4) = 4
Таким образом, у функции есть горизонтальная асимптота y=4.

b) Вертикальная асимптота: для того чтобы найти вертикальную асимптоту, мы можем рассмотреть уравнение знаменателя и выяснить, при каких значениях x функция разрывается.
x^2 + 2x + 4 = 0
D = 2^2 - 414 = 4 - 16 = -12
Следовательно, уравнение не имеет действительных корней и функция не имеет вертикальных асимптот.

Найдем критические точки функции:
Для этого найдем производную функции и приравняем её к нулю, чтобы найти точки, в которых график функции может иметь экстремумы.
y' = (8(x+1)(x^2+2x+4) - 4(x+1)^2(2x+2))/(x^2+2x+4)^2 = 0
(8x^3 + 24x^2 + 40x + 32) - (8x^3 + 16x^2 + 32x + 32) = 0
8x^2 + 8x = 0
x(x+1) = 0
x = 0, x = -1
Таким образом, критические точки функции находятся в x=0 и x=-1.

Построим график функции:
Для построения графика можно использовать программы для визуализации функций, такие как Desmos или Wolfram Alpha. На графике будут отмечены асимптоты (горизонтальная) и критические точки (примерно в x=0 и x=-1).

Это позволит нам визуализировать поведение функции и увидеть, как она ведет себя в окрестности асимптот и критических точек.