Задача на векторы в окружности В окружности с центром О проведены перпендикулярные хорды AB и CL, пересекающиеся в точке М. Докажите, что вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОД.
Задача на векторы в окружности В окружности с центром О проведены перпендикулярные хорды AB и CL, пересекающиеся в точке М. Докажите, что вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОД.
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Доказательство:
Поскольку AB и CL - перпендикулярные хорды, то они диаметры окружности. Таким образом, точки A, B, C и D делят окружность на четыре равные дуги.
Обозначим радиус окружности как R. Тогда векторы ОА, ОВ, ОС и ОD имеют следующий вид:
ОА = А - О = Rcosα i + Rsinα j,
ОВ = В - О = -Rcosβ i + Rsinβ j,
ОС = С - О = -Rcosα i - Rsinα j,
ОD = D - О = Rcosβ i - Rsinβ j.
Теперь найдем векторную сумму ОА + ОВ + ОС + ОD:
ОА + ОВ + ОС + ОD = (Rcosα - Rcosβ - Rcosα + Rcosβ) i + (Rsinα + Rsinβ - Rsinα - Rsinβ) j
= 0.
Получается, что векторная сумма ОА + ОВ + ОС + ОD равна нулевому вектору.
Таким образом, вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОD:
ОМ = 1/2 (ОА + ОВ + ОС + ОD) = 1/2 0 = 0.
Следовательно, доказано, что вектор ОМ равен половине векторной суммы ОА + ОВ + ОС + ОD.