Пример 1: f(x) = (2x^2 + 3x + 1)^3

Решение: Используем правило цепного дифференцирования. Сначала найдем производную функции в кубе по аргументу внутренней функции:

g(x) = 2x^2 + 3x + 1
g'(x) = 4x + 3

Теперь найдем производную сложной функции по аргументу x:

f'(x) = 3(2x^2 + 3x + 1)^2 (4x + 3)
f'(x) = 3(4x^2 + 12x + 3) (4x + 3)
f'(x) = 3(16x^3 + 48x^2 + 12x + 12x^2 + 36x + 9)
f'(x) = 48x^3 + 144x^2 + 36x + 36x^2 + 108x + 27
f'(x) = 48x^3 + 180x^2 + 144x + 27

Пример 2: f(x) = sin(2x + 3)

Решение: Для нахождения производной сложной функции, используем производную композиции функций. Для функции sin(u) производная равна cos(u), а для функции u = 2x + 3:

u'(x) = 2

Теперь найдем производную f(x) по x:

f'(x) = cos(2x + 3) * 2
f'(x) = 2cos(2x + 3)