Для того чтобы значение выражения n^2+5n+22 было квадратом, необходимо, чтобы это значение было равно квадрату какого-то целого числа m. Запишем это условие в виде уравнения:

n^2 + 5n + 22 = m^2

n^2 + 5n + $22-m^2$ = 0

Это квадратное уравнение имеет дискриминант D = 25 - 4$22-m^2$ = 88 + 4m^2.

Дискриминант должен быть полным квадратом, то есть существовать такое натуральное число m, что 88 + 4m^2 = k^2, где k - натуральное число.

Изучив все возможные варианты, можно найти, что подходит только m = 6.

Подставляем m = 6 в уравнение 88 + 4m^2 = k^2:

88 + 4*6^2 = 88 + 144 = 232 = k^2

Таким образом, при m = 6 значение выражения n^2 + 5n + 22 является квадратом при n = 10.

Итак, все натуральные n, при которых значение выражения n^2 + 5n + 22 является квадратом, это n = 10.