Для нахождения косинуса квадрата угла B нам нужно воспользоваться теоремой Пифагора и формулой для синуса и косинуса угла в прямоугольном треугольнике.

Известно, что в прямоугольном треугольнике синус угла B равен противолежащему катету (AC) деленному на гипотенузу (AB): sin(B) = AC/AB = 4√5/10.

Так как угол C равен 90 градусов, то гипотенуза AB будет гипотенузой прямоугольного треугольника.

Из теоремы Пифагора: AB^2 = AC^2 + BC^2
AB^2 = (4√5)^2 + BC^2
AB^2 = 80 + BC^2.

Теперь нам нужно найти квадрат косинуса угла B. Косинус угла B равен прилежащему катету (BC) деленному на гипотенузу (AB): cos(B) = BC/AB.

Из этого следует, что косинус квадрата угла B равен квадрату косинуса угла B: cos^2(B) = (BC/AB)^2 = (BC^2)/(AB^2).

Подставим значения в уравнение:
cos^2(B) = BC^2/(80 + BC^2)
cos^2(B) = BC^2/(80 + BC^2).

Теперь нам нужно найти BC. Из формулы для синуса: sin(B) = AC/AB = 4√5/10
AC = 4√5, AB = 10.

Из этого следует, что BC = √(AB^2 - AC^2) = √(10^2 - (4√5)^2) = √(100 - 80) = √20 = 2√5.

Подставляем BC в уравнение:
cos^2(B) = (2√5)^2 / (80 + (2√5)^2) = 20 / (80 + 20) = 20 / 100 = 1/5.

Итак, косинус квадрата угла B равен 1/5.