Обозначим через M точку пересечения DH и CE.

Так как DH - высота, а CD - гипотенуза, то треугольник CDM - подобен треугольнику CHD. Следовательно,

(\frac{CD}{CM} = \frac{CH}{CDH})

(CD \cdot CDH = CM \cdot CH)

Также, так как H - середина гипотенузы CD и DK - радиус окружности, то DM = (\frac{1}{2})PK = (\frac{1}{2}\cdot21 = 10.5). Также DH = 2DK = 42.

Из подобия треугольников CDM и CHD получаем:

(CD \cdot 42 = 10.5 \cdot CH)

(CD = \frac{10.5 \cdot CH}{42} = \frac{CH}{4})

Найдем отношение CH к CD. По теореме Пифагора в треугольнике CHD:

(CD^2 + CH^2 = DH^2)

(CD^2 + CH^2 = 42^2)

(CD^2 + 16CD^2 = 1764)

(17CD^2 = 1764)

(CD = \sqrt{\frac{1764}{17}} \approx 11.09)

Тогда (CH = 4CD \approx 44.36), и итоговое значение DH будет (DH = 2 \cdot CH \approx 88.72).