Как с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно? Теорема Бэра - полное метрическое пространство является пространством второй категории.
Если метрическое пространство представимо в виде объединения счётной совокупности нигде не плотных множеств, то оно является пространством первой категории. Иначе - второй категории.
Требуется с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно. Как это сделать?
Как с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно? Теорема Бэра - полное метрическое пространство является пространством второй категории.
Если метрическое пространство представимо в виде объединения счётной совокупности нигде не плотных множеств, то оно является пространством первой категории. Иначе - второй категории.
Требуется с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно. Как это сделать?
Если метрическое пространство представимо в виде объединения счётной совокупности нигде не плотных множеств, то оно является пространством первой категории. Иначе - второй категории.
Требуется с помощью теоремы Бэра доказать, что множество R - несчетно. Как это сделать?
Похожие вопросы
Не можешь разобраться в этой теме?
Обратись за помощью к экспертам
Гарантированные бесплатные доработки в течение 1 года
Быстрое выполнение от 2 часов
Проверка работы на плагиат
Поможем написать учебную работу
Для начала докажем, что множество действительных чисел является полным метрическим пространством. Это означает, что любая фундаментальная последовательность чисел сходится к какому-то пределу, который также является действительным числом.
Теперь предположим, что множество действительных чисел является счетным. Это означает, что его элементы можно упорядочить в последовательность a1, a2, a3, ... и так далее, где каждое действительное число встречается ровно один раз.
Рассмотрим множество всех интервалов с рациональными концами и длиной, равной 1/2^n, где n - натуральное число. Это множество состоит из счётного числа интервалов, и каждый интервал можно представить в виде открытого нигде не плотного множества.
Согласно теореме Бэра, полное метрическое пространство (действительные числа) не может быть представлено в виде объединения счётного числа нигде не плотных множеств. Таким образом, множество действительных чисел не может быть счетным и, следовательно, оно несчетно.