Для начала, рассмотрим случай сигма-конечного пространства $(X,\mathcal{M},\mu )$ и борелевских функций $f:X\times Y\to \mathbb{R}$, где $Y$ - произвольное множество.

Теорема Фубини утверждает, что если функция $f$ измерима относительно $\sigma$-алгебры $\mathcal{M}\times \mathcal{N}$, где $\mathcal{N}$ - произвольная $\sigma$-алгебра на $Y$, и положительна на множестве конечной меры, то совокупная функция $f_y:X\to \mathbb{R}$, определенная как $f_y(x)=f(x,y)$, интегрируема по $\mu$ почти всюду на $X$, и интеграл от $f$ по мере $\mu \times \nu$ равен интегралу по мере $\nu$ от интеграла функции $f_y$ по мере $\mu$:

$${\int }_{X\times Y}fd(\mu \times \nu )={\int }_Y\left({\int }_{X}f(x,y)d\mu (x)\right)d\nu (y)$$

Доказательство теоремы Фубини состоит в нескольких шагах, включающих построение интегрируемых по Лебегу функций, применение теоремы о предельном переходе и выведение формулы для интеграла от них.

Помимо этого, теорема Фубини также верна для отрицательных функций и комплекснозначных функций, и может быть обобщена на случай несигма-конечного пространства.

Доказательство данной теоремы является достаточно объемным и подробным, потому что включает в себя различные случаи и допущения. На экзамене вам, возможно, придется дать краткое изложение основных шагов доказательства и использованных теорем, таких как теорема о сходимости мажорант и доказываемость интегрируемых функций. Не забудьте также проверить, что ваша функция $f$ измерима и ограниченна.

Удачи на экзамене!