Для вычисления длины дуги кривой Y = ln$sinx$ от x = π/3 до x = π/2 используем формулу длины дуги кривой:

L = ∫ $$a,b$$ √$1+(dy/dx{)}^2$ dx

где dy/dx - производная функции Y по X.

Сначала найдем производную функции Y = ln$sinx$:
Y' = $1/sinx$ * cosx
Y' = cosx/sinx

Теперь подставим производную в формулу для вычисления длины дуги кривой:

L = ∫ $$\pi /3,\pi /2$$ √$1+(cosx/sinx{)}^2$ dx
L = ∫ $$\pi /3,\pi /2$$ √$1+co{t}^{2}x$ dx
L = ∫ $$\pi /3,\pi /2$$ √$cs{c}^{2}x$ dx
L = ∫ $$\pi /3,\pi /2$$ cscx dx
L = ln|cscx - cotx| ∣ $$\pi /3,\pi /2$$ L = ln|csc$\pi /2$ - cot$\pi /2$| - ln|csc$\pi /3$ - cot$\pi /3$|
L = ln|1-0| - ln|2-√3|

L = ln|1| - ln|2-√3|
L = 0 - ln$2-\surd 3$

L = -ln$2-\surd 3$

Таким образом, длина дуги кривой Y = ln$sinx$ от x = π/3 до x = π/2 равна -ln$2-\surd 3$.