Построим треугольник и отметим точки касания окружности с его сторонами:

B
/\
/ \
/ \
/ \
/ \
/ \
/____________\
A O1 C

A, B, C - вершины треугольника, где AB = AC
O1 - центр окружности, касающейся стороны BC и продолжений сторон AB и AC

Также отметим точку касания окружности O1 с боковой стороной BC как D. Проведем также отрезок OD, перпендикулярный стороне BC.

Треугольник O1BD - прямоугольный, так как радиус окружности перпендикулярен стороне треугольника и проведен к точке касания окружности с этой стороной.

Таким образом, угол O1DB равен 90 градусов.

Поскольку треугольник ABC - равнобедренный, то угол ACB = 180 - 2α.

Угол O1BD = α, так как он дополняет угол ABC.

Тогда в прямоугольном треугольнике O1BD с углами 90, α и 180 - 2α синус угла α определяется как OD / O1D = R / R1, где R1 - радиус окружности, касающейся основания треугольника и продолжений боковых сторон.

Следовательно, R1 = R sin(α) / cos(α) = R tg(α).

Также площадь треугольника ABC выражается через радиусы окружностей как S = R * (R + R1).

Итак, площадь треугольника равна S = R (R + R tg(α)) = R^2 * (1 + tg(α)).

Радиус окружности, касающейся основания треугольника и продолжений боковых сторон, равен R1 = R * tg(α).