Для начала, перенесем все члены неравенства в левую часть:
X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) + 5 >= 0
Упростим выражение:
X^2 - 5x - 1/x^2 + 5x - 7 + 5 >= 0
X^2 - 1/x^2 - 2 >= 0
Приведем дробь к общему знаменателю:
(x^4 - 1) / x^2 >= 0
(x^2 - 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0
Теперь рассмотрим знак этого выражения в каждом из интервалов (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞).
1) Интервал (-∞, -1):
2) Интервал (-1, 0):
3) Интервал (0, 1):
4) Интервал (1, +∞):
Таким образом, неравенство X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) >= -5 выполняется на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).
Для начала, перенесем все члены неравенства в левую часть:
X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) + 5 >= 0
Упростим выражение:
X^2 - 5x - 1/x^2 + 5x - 7 + 5 >= 0
X^2 - 1/x^2 - 2 >= 0
Приведем дробь к общему знаменателю:
(x^4 - 1) / x^2 >= 0
(x^2 - 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0
(x - 1)(x + 1)(x^2 + 1) / x^2 >= 0
Теперь рассмотрим знак этого выражения в каждом из интервалов (-∞, -1), (-1, 0), (0, 1), (1, +∞).
1) Интервал (-∞, -1):
В этом интервале все три множителя отрицательны, поэтому выражение положительное2) Интервал (-1, 0):
Первые два множителя отрицательны, третий положительный, поэтому выражение отрицательное3) Интервал (0, 1):
Первый множитель положительный, второй отрицательный, третий положительный, поэтому выражение отрицательное4) Интервал (1, +∞):
В этом интервале все три множителя положительные, поэтому выражение положительноеТаким образом, неравенство X^2 - 5x - (1/x^2 - 5x + 7) >= -5 выполняется на интервалах (-∞, -1) и (1, +∞).