Давайте решим уравнение ( x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) ) по шагам.

Упростим левую часть уравнения:
Мы можем заметить, что ( x^2 + 2x + 1 ) — это полный квадрат, который можно переписать как ( (x + 1)^2 ).

Следовательно, уравнение становится:
[
x(x + 1)^2 = 2(x + 1)
]

Переносим все на одну сторону:
Мы можем переместить ( 2(x + 1) ) на левую сторону:
[
x(x + 1)^2 - 2(x + 1) = 0
]

Вынесем общий множитель:
Мы видим, что в обоих терминах есть общий множитель ( (x + 1) ):
[
(x + 1)(x(x + 1) - 2) = 0
]

Решаем первое уравнение:
Первое уравнение:
[
x + 1 = 0 \implies x = -1
]

Решаем второе уравнение:
Второе уравнение:
[
x(x + 1) - 2 = 0 \implies x^2 + x - 2 = 0
]
Теперь это квадратное уравнение. Для его решения можем использовать формулу:
[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
]
Здесь ( a = 1 ), ( b = 1 ), ( c = -2 ). Считаем дискриминант:
[
D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-2) = 1 + 8 = 9
]

Теперь находим корни:
[
x = \frac{-1 \pm \sqrt{9}}{2} = \frac{-1 \pm 3}{2}
]
Это дает два решения:
[
x_1 = \frac{2}{2} = 1, \quad x_2 = \frac{-4}{2} = -2
]

Итак, окончательные решения:
Мы нашли три решения:
[
x = -1, \quad x = 1, \quad x = -2
]

Таким образом, уравнение ( x(x^2 + 2x + 1) = 2(x + 1) ) имеет решения ( x = -1, x = 1, x = -2 ).