Давайте обозначим длины отрезков, используя информацию из условия задачи.

Пусть ( A ), ( B ) и ( C ) - точки на отрезке ( AB ), где отношение ( AC:BC = 5:3 ). Если обозначить длину отрезка ( AC = 5x ), то длина отрезка ( BC = 3x ). Таким образом, общая длина ( AB = AC + BC = 5x + 3x = 8x ).

Теперь рассматриваем параллельные прямые, проведенные через точки ( A ), ( B ), и ( C ) и пересекающие плоскость Альфа в точках ( A_1, B_1, C_1 ).

Из условия задачи у нас имеется:

Согласно свойствам подобных треугольников, мы можем установить пропорции между длинами отрезков:

Так как прямые ( AB ) и ( A_1B_1 ) параллельны, а также и ( AC ) с ( A_1C_1 ), мы можем записать:
[
\frac{AA_1}{BB_1} = \frac{AC}{BC}
]
Отметим, что длина отрезка ( BC ) равна ( 3x ), а длина отрезка ( AC ) равна ( 5x ).
Таким образом,
[
\frac{AA_1}{10} = \frac{5x}{3x} = \frac{5}{3}
]
Следовательно,
[
AA_1 = 10 \cdot \frac{5}{3} = \frac{50}{3} \approx 16.67.
]

Теперь аналогично можно записать для ( C ):
[
\frac{AA_1}{CC_1} = \frac{AC}{BC}
]
Вот это может быть использовано, но главный вывод уже получен из первого уравнения.

Таким образом, окончательный ответ будет:
[
AA_1 = \frac{50}{3}
]
или
[
AA_1 \approx 16.67.
]

Однако, это значение необходимо проверить ещё раз при использовании второго уравнения, чтобы гарантировать, что все длины и пропорции согласованы. Но в этом случае, учитывая, что параллельные линии обеспечивают согласованность, можно считать, что:
[
AA_1 = \frac{50}{3} или 16.67.
]