Для решения этой задачи рассмотрим 100 чисел, которые обозначим как $a_1,a<em>2,\dots ,a</em>100$. Обозначим их произведение через $P=a_1\cdot a<em>2\cdots a</em>100$.

Гриша увеличивает каждое число на 1, превращая числа в $a_1+1,a<em>2+1,\dots ,a</em>100+1$, и заметил, что произведение остается прежним:

$$(a_1+1)(a<em>2+1)\cdots (a</em>100+1)=P.$$

Раскроем произведение слева:

$$P+(суммавсехa_i)+(суммапроизведенийпар(a_i,a_j))+\cdots +1=P,$$

что приводит к уравнению:

$$(суммавсехa_i)+(суммапроизведенийпар)+\cdots +1=0.$$

Чтобы это выражение было равно нулю, все слагаемые должны компенсировать друг друга. Это значит, что, по крайней мере, одно из $a_i$ должно быть равным -1, чтобы одно доумножение 1, например $a_i+1=0$ не влияло на произведение.

Теперь повторим процедуру $k$ раз. После $k$ увеличений числа будут выглядеть как:

$$a_1+k,a<em>2+k,\dots ,a</em>100+k.$$

При этом их произведение также должно оставаться равным $P$:

$$(a_1+k)(a<em>2+k)\cdots (a</em>100+k)=P.$$

Как и ранее, у нас получится аналогичное уравнение, которое также должно упроститься.

Для $k=100$ каждая $a_i+k$ должна была бы равняться нулю $илистатьменьше$, так как изначально $-1$ у нас уже есть, а при 100 увеличениях:

$$a_i+100+1=0⟺a_i=-101,$$

что невозможно для 100 чисел.

Проверим максимальное значение $k$:

Поэтому наибольшее возможное значение $k$ равно 99.

В результате мы подчеркиваем, что невозможно, чтобы все 100 чисел оставались равными единице, ведь при увеличении на 100 одна из них станет недопустимой.

Для решения этой задачи рассмотрим 100 чисел, которые обозначим как $a_1,a2,\dots ,a100$. Обозначим их произведение через $P=a_1\cdot a2\cdots a100$.

Гриша увеличивает каждое число на 1, превращая числа в $a_1+1,a2+1,\dots ,a100+1$, и заметил, что произведение остается прежним:

$$</p><p>(a_1+1)(a2+1)\cdots (a100+1)=P.</p><p>$$

Раскроем произведение слева:

$$</p><p>P+(суммавсехa_i)+(суммапроизведенийпар(a_i,a_j))+\cdots +1=P,</p><p>$$

что приводит к уравнению:

$$</p><p>(суммавсехa_i)+(суммапроизведенийпар)+\cdots +1=0.</p><p>$$

Чтобы это выражение было равно нулю, все слагаемые должны компенсировать друг друга. Это значит, что, по крайней мере, одно из $a_i$ должно быть равным -1, чтобы одно доумножение 1, например $a_i+1=0$ не влияло на произведение.

Теперь повторим процедуру $k$ раз. После $k$ увеличений числа будут выглядеть как:

$$</p><p>a_1+k,a2+k,\dots ,a100+k.</p><p>$$

При этом их произведение также должно оставаться равным $P$:

$$</p><p>(a_1+k)(a2+k)\cdots (a100+k)=P.</p><p>$$

Как и ранее, у нас получится аналогичное уравнение, которое также должно упроститься.

Для $k=100$ каждая $a_i+k$ должна была бы равняться нулю $илистатьменьше$, так как изначально $-1$ у нас уже есть, а при 100 увеличениях:

$$</p><p>a_i+100+1=0⟺a_i=-101,</p><p>$$

что невозможно для 100 чисел.

Проверим максимальное значение $k$:

Если $k=99$, то у нас 100 чисел, и хотя бы одно число должно быть равно -1. Это возможно.Если $k=100$, как было ранее указано, одно число должно стать -101, что приводит к конфликту.

Поэтому наибольшее возможное значение $k$ равно 99.

В результате мы подчеркиваем, что невозможно, чтобы все 100 чисел оставались равными единице, ведь при увеличении на 100 одна из них станет недопустимой.