Чтобы решить дифференциальное уравнение второго порядка с постоянными коэффициентами операторным методом, мы начнем с записи уравнения:

$$2x^{\prime \prime }+5x^{\prime }=29\cos (t)$$

Теперь разделим все на 2, чтобы упростить:

$$x^{\prime \prime }+\frac{5}{2}{x}^{\prime }=\frac{29}{2}\cos (t)$$

Далее введем оператор $D$, где $D=\frac{d}{dt}$. Тогда уравнение можно переписать в операторной форме:

$$D^{2}x+\frac{5}{2}Dx=\frac{29}{2}\cos (t)$$

Теперь решим соответствующее однородное уравнение:

$$D^{2}x+\frac{5}{2}Dx=0$$

Характеристическое уравнение будет:

$$r^2+\frac{5}{2}r=0$$

Факториализуем:

$$r(r+\frac{5}{2})=0$$

Таким образом, корни: $r_1=0$ и $r_2=-\frac{5}{2}$.

Общее решение однородного уравнения:

$$x_h(t)=C_1+C_2{e}^{-\frac{5}{2}t}$$

Теперь найдем частное решение $x_p(t)$ для неоднородной части. В данном случае, так как правой частью является $\cos (t)$, мы попытаемся подобрать решение в виде:

$$x_p(t)=A\cos (t)+B\sin (t)$$

Теперь вычислим производные:

$$x_p^{\prime }(t)=-A\sin (t)+B\cos (t)$$ $$x_p^{\prime \prime }(t)=-A\cos (t)-B\sin (t)$$

Подставим $x_p(t)$ и его производные в исходное уравнение:

$$-A\cos (t)-B\sin (t)+\frac{5}{2}(-A\sin (t)+B\cos (t))=\frac{29}{2}\cos (t)$$

После упрощения:

$$\left(-A+\frac{5}{2}B\right)\cos (t)+\left(-B-\frac{5}{2}A\right)\sin (t)=\frac{29}{2}\cos (t)$$

Теперь приравняем коэффициенты:

Из второго уравнения выразим $B$:

$$B=-\frac{5}{2}A$$

Подставим это значение в первое уравнение:

$$-A+\frac{5}{2}\left(-\frac{5}{2}A\right)=\frac{29}{2}$$

Упрощая,

$$-A-\frac{25}{4}A=\frac{29}{2}$$

Объединим:

$$-\frac{29}{4}A=\frac{29}{2}$$

Теперь решим для $A$:

$$A=-2$$

Теперь найдём $B$:

$$B=-\frac{5}{2}(-2)=5$$

Таким образом, частное решение будет:

$$x_p(t)=-2\cos (t)+5\sin (t)$$

Теперь общее решение:

$$x(t)=x_h(t)+x_p(t)=C_1+C_2{e}^{-\frac{5}{2}t}-2\cos (t)+5\sin (t)$$

Теперь воспользуемся начальными условиями для нахождения констант $C_1$ и $C_2$. Начальные условия:

Находим $x(0)$:

$$x(0)=C_1+C_2-2=-1⟹C_1+C_2=1$$

Найдем производную $x^{\prime }(t)$:

$$x^{\prime }(t)=C_2\cdot \left(-\frac{5}{2}{e}^{-\frac{5}{2}t}\right)+2\sin (t)+5\cos (t)$$

Теперь подставим $t=0$:

$$x^{\prime }(0)=-\frac{5}{2}{C}_2+5=0⟹-\frac{5}{2}{C}_2=-5⟹C_2=2$$

Теперь подставим значение $C_2$ в уравнение для $C_1$:

$$C_1+2=1⟹C_1=-1$$

Итак, окончательное решение:

$$x(t)=-1+2e^{-\frac{5}{2}t}-2\cos (t)+5\sin (t)$$