Ваше первоначальное предположение о том, что $C_1\ne C_2$, не совсем верно. Давайте разберем вашу задачу более подробно.

Согласно теореме о остатке от деления многочлена, остаток от деления многочлена $P(x)$ на многочлен $(x-a)$ равен $P(a)$, и остаток от деления на многочлен $(x-b)$ равен $P(b)$. Таким образом:

$C_1=P(a)$$C_2=P(b)$

Многочлен $(x-a)(x-b)$ имеет степень 2, поэтому остаток от деления многочлена $P(x)$ на этот многочлен будет также представлять собой многочлен степени не выше 1, то есть имеет вид $R(x)=Ax+B$, где $A$ и $B$ — некоторые постоянные. При делении $P(x)$ на $(x-a)(x-b)$ остаток равен $R(a)$ и $R(b)$:

$C=R(x)$ при $R(a)$ означает, что $C=Aa+B$$C=R(b)$ означает, что $C=Ab+B$

Таким образом, у нас есть система:

$$\begin{array}{rlr}C& amp;=Aa+B,C& amp;=Ab+B.\end{array}$$

Решив эту систему, мы можем получить:

$Aa+B=Ab+B$Упростив, получаем $Aa=Ab$.Так как $a\ne b$, можно разделить обе стороны на $a-b$ и получить $A=0$.

Таким образом, заканчиваем с $C=B$, где $B$ — это постоянная, и остаток от деления многочлена $P(x)$ на $(x-a)(x-b)$ является просто константой, которую можно обозначить как $C$.

Итак, мы можем заключить:

$C_1=P(a)$$C_2=P(b)$И остаток $C$ равен $B$

Это означает, что $P(a)$ и $P(b)$ могут быть равны или не равны, но остаток $C$ от деления на $(x-a)(x-b)$ не обязательно равен $C_1$ или $C_2$.

Таким образом, можно утверждать, что $C_1\ne C_2$ в общем случае, и $C$ может быть равно как $C_1$, так и $C_2$, но не обязательно равно обоим. Следовательно, ваша изначальная логика не совсем точна; нужно учитывать, что остатки $C_1$ и $C_2$ могут быть различными, но остальное неправильно.

Итак, правильный ответ: не всегда $C_1=C_2=C$. Это зависит от многочлена $P(x)$.