Для решения данной задачи начнем с анализа структуры задачи.

Правильный треугольник: Правильный треугольник имеет три стороны и на каждой стороне выбрано по три точки, что дает в сумме 3 * 3 = 9 точек на сторонах треугольника.

Создание восьмизвенной ломаной: Из 9 доступных точек мы хотим построить незамкнутую ломаную из 8 звеньев. Это значит, что мы будем использовать 9 точек и соединить их в последовательности, которая не пересекается.

Учитывая, что ломаная должна быть незамкнутой, последний $восьмой$ отрезок может быть проведен между одной из выбранных точек и какой-либо из 8 оставшихся.

Выбор точек: Ломаную можно строить, начиная с любой точки и выбирая следующую по заданным правилам. Учитывая, что самопересечения не допускаются, после каждого выбора следующей точки количество доступных точек будет уменьшаться.

Подход к решению: Поскольку у нас нет самопересечений, ломаная будет представлять собой последовательность, в которой не будет использоваться одна и та же точка дважды. Это соответствует выбору 8 из 9 точек, а затем любой перестановкой каждой из последовательностей этих выбранных точек.

Счет:

Поскольку у нас 9 точек, мы можем выбрать 8 из них. Существует C$9,8$ = 9 способов выбора 8 точек.Соответственно, существуют 8! $факториалвосьми$ способов упорядочить 8 выбранных точек.

Общее количество способов построить восьмизвенную ломаную будет равно:

$$C(9,8)\times 8!=9\times 40320=362880.$$

Таким образом, количество способов построить восьмизвенную незамкнутую ломаную без самопересечений на выбранных точках равно 362880.