Решим уравнение ( \sin 2x + 3\sin x = 0 ).

Сначала воспользуемся формулой двойного угла для синуса:

[
\sin 2x = 2 \sin x \cos x
]

Подставим это в уравнение:

[
2 \sin x \cos x + 3 \sin x = 0
]

Теперь вынесем общий множитель ( \sin x ):

[
\sin x (2 \cos x + 3) = 0
]

Теперь у нас есть два множителя, которые равны нулю:

Решим первое уравнение:

[
\sin x = 0 \implies x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
]

Теперь решим второе уравнение:

[
2 \cos x + 3 = 0 \implies \cos x = -\frac{3}{2}
]

Но значение ( -\frac{3}{2} ) не может быть значением косинуса, поскольку косинус ограничен диапазоном ([-1, 1]).

Таким образом, у нас остаётся только первое уравнение. Полное решение:

[
x = n\pi, \quad n \in \mathbb{Z}
]