Дано: треугольник ( ABC ) с углами ( \angle A = 60^\circ ) и ( \angle C = 30^\circ ). Необходимо доказать, что ( AB \perp MA ), ( BC \perp MC ) и ( CM \perp MA ), если точка ( M ) расположена вне треугольника ( ABC ) и выполняются условия ( MA \parallel BC ) и ( MC \parallel AB ).

Анализ треугольника: Поскольку ( \angle A + \angle C + \angle B = 180^\circ ), можем найти угол ( B ):
[
\angle B = 180^\circ - \angle A - \angle C = 180^\circ - 60^\circ - 30^\circ = 90^\circ.
]
Таким образом, треугольник ( ABC ) является прямоугольным, и ( \angle B = 90^\circ ).

Параллельные прямые: Условия, что ( MA \parallel BC ) и ( MC \parallel AB ), позволяют нам использовать свойства углов, образуемых параллельными прямыми и секущими.

Докажем, что ( AB \perp MA ): Поскольку ( MA \parallel BC ), формируем углы: ( \angle BAM = \angle ABC ). Поскольку ( ABC ) - прямоугольный, ( \angle ABC = 90^\circ ). Следовательно, ( \angle BAM = 90^\circ), а значит, ( AB \perp MA ).

Докажем, что ( BC \perp MC ): Аналогично, из условий, что ( MC \parallel AB ), получим: ( \angle BMC = \angle BAC ). Поскольку ( \angle BAC = 60^\circ ), а ( \angle ABC = 90^\circ), тогда ( \angle BMC = 30^\circ). Следовательно, ( BC \perp MC ), так как ( \angle ABC + \angle BMC = 90^\circ + 30^\circ = 120^\circ).

Докажем, что ( CM \perp MA ): Рассмотрим угол ( \angle CMA ). Мы имеем ( MA \parallel BC ) и ( MC \parallel AB ). Таким образом, по свойству углов, мы получаем ( \angle CMA = 360^\circ - (\angle ABC + \angle BAM) = 360^\circ - (90^\circ + 90^\circ) = 180^\circ). Это означает, что прямая ( CM ) перпендикулярна прямой ( MA ).

Таким образом, мы доказали все необходимые условия:

Заключение: Условия задачи выполняются, и требуемое утверждение верно.