Чтобы найти площадь параллелограмма ABCD, нам нужно использовать формулу площади через длину стороны и высоту. Также можно воспользоваться свойствами диагоналей.

Из условия задачи нам известно:

( AB = 16 )( AC = BD = 34 )

В параллелограмме диагонали пересекаются и делят друг друга пополам, поэтому ( AC ) и ( BD ) являются диагоналями параллелограмма.

Сначала найдем длины полупериметра и радиусы окружности, вписанной в данный параллелограмм:

Полуразмеры диагоналей:
[
O = \sqrt{AC^2 + BD^2 - 2 \cdot AB^2}
]

Зная длины, мы можем определить ( AC ) и ( BD ).
Площадь можно вычислить через длины диагоналей и угол между ними:
[
S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BD \cdot \sin(\alpha)
]

Осталось определить угол между диагоналями. Можно использовать длины диагоналей и площадь:
[
S^2 = \frac{1}{4} \cdot AC^2 \cdot BD^2 - \frac{(AB^2 + AD^2 + BD^2 + AC^2)^2}{64}
]

После нахождения всех необходимых данных, площадь параллелограмма будет равна:

[
S = AB \cdot h
]

где ( h ) — высота, проведенная из противолежащей вершины к основанию.

Но в нашем случае, гораздо проще следующее:

Используя формулу через диагонали и косинус угла между ними, получим:

Пусть ( M ) — точка пересечения диагоналей. Так как диагонали в параллелограмме пересекаются пополам, можем написать, что ( AM = \frac{34}{2} = 17 ).

Также, обратите внимание, что так как ( AB ) и ( AC ) перпендикулярны, можно воспользоваться теоремой Пифагора для нахождения площади.

Площадь ABCD равна:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot BN = \frac{1}{2} \cdot 17 \cdot 16
]
Расчитаем это значение, но всё же площадь проще найти через прямо:

В заключение, площадь параллелограмма равна:

[
S = AB \cdot h = 16 \cdot 17 = 272
]

Таким образом, окончательный ответ:

[
\boxed{272}
]