Давайте обозначим длины сторон прямоугольного параллелепипеда как ( a ), ( b ), и ( c ).

Из условия задачи у нас есть следующие данные:

Периметр боковой грани равен 36:
[
2(b + c) = 36 \implies b + c = 18.
]

Площадь передней грани равна 60:
[
a \cdot b = 60.
]

Площадь верхней грани равна 84:
[
a \cdot c = 84.
]

Теперь мы можем выразить ( c ) через ( a ) и ( b ) из уравнения 1:

[
c = 18 - b.
]

Теперь подставим это выражение в уравнения 2 и 3.

Из уравнения 2:
[
a \cdot b = 60 \implies a = \frac{60}{b}.
]

Подставим ( a ) в уравнение 3:
[
\frac{60}{b} \cdot c = 84.
]
Заменим ( c ) на ( 18 - b ):
[
\frac{60}{b} \cdot (18 - b) = 84.
]

Умножим обе стороны на ( b ):
[
60(18 - b) = 84b.
]
Раскроем скобки:
[
1080 - 60b = 84b.
]
Переносим все термы с ( b ) в одну сторону:
[
1080 = 144b \implies b = \frac{1080}{144} = 7.5.
]

Теперь найдём ( c ) подставив ( b ) обратно:
[
c = 18 - b = 18 - 7.5 = 10.5.
]

Теперь подставим значение ( b ) в уравнение для ( a ):
[
a = \frac{60}{b} = \frac{60}{7.5} = 8.
]

Таким образом, мы нашли значения сторон:
[
a = 8, \quad b = 7.5, \quad c = 10.5.
]

Теперь найдем объем ( V ) прямоугольного параллелепипеда:
[
V = a \cdot b \cdot c = 8 \cdot 7.5 \cdot 10.5.
]

Теперь произведем вычисления:
[
8 \cdot 7.5 = 60,
]
[
60 \cdot 10.5 = 630.
]

Таким образом, объем прямоугольного параллелепипеда равен ( 630 ).

Ответ:
[
\boxed{630}.
]