Для разложения функции ( p^x ) в ряд Тейлора (или ряд Маклорена) вокруг точки ( x = 0 ), мы можем использовать следующую формулу:

[
f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \ldots
]

Здесь ( f(x) = p^x ). Для начала найдем производные:

Нулевая производная:
[
f(0) = p^0 = 1
]

Первая производная:
[
f'(x) = p^x \ln(p) \implies f'(0) = p^0 \ln(p) = \ln(p)
]

Вторая производная:
[
f''(x) = p^x (\ln(p))^2 \implies f''(0) = p^0 (\ln(p))^2 = (\ln(p))^2
]

Третья производная:
[
f'''(x) = p^x (\ln(p))^3 \implies f'''(0) = p^0 (\ln(p))^3 = (\ln(p))^3
]

Таким образом, обобщая, мы можем заметить, что ( n )-я производная в окрестности нуля будет равна:
[
f^{(n)}(0) = (\ln(p))^n
]

Подставив все производные в формулу ряда Тейлора, получаем:
[
p^x = 1 + \ln(p)x + \frac{(\ln(p))^2}{2!}x^2 + \frac{(\ln(p))^3}{3!}x^3 + \ldots
]

Таким образом, разложение функции ( p^x ) в ряд Тейлора (или Маклорена) будет выглядеть следующим образом:

[
p^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(\ln(p))^n}{n!} x^n
]

Этот ряд сходится для всех ( x ).