При делении на 18 возможные остатки деления представляют собой целые числа от 0 до 17. Чтобы найти сумму всех элементов множества остатков при делении на 18, которые не равны нулю, нам нужно рассмотреть остатки 1, 2, 3, ..., 17.

Сначала найдем сумму всех остатков от 1 до 17:

$$S=1+2+3+\dots +17$$

Эта сумма может быть вычислена с помощью формулы для суммы арифметической прогрессии:

$$S_n=\frac{n(n+1)}{2}$$

где $n$ — это количество членов в последовательности. В данном случае $n=17$.

Подставим значение в формулу:

$$S_{17}=\frac{17(17+1)}{2}=\frac{17\cdot 18}{2}=\frac{306}{2}=153$$

Таким образом, сумма всех элементов множества остатков при делении на 18, не равных нулю, равна 153.