Для нахождения меньшего основания равнобедренной трапеции, нам нужно воспользоваться свойствами треугольников и некоторыми тригонометрическими функциями.

Обозначим:

( a ) — меньшее основание (которое мы ищем);( b = 10 ) см — большее основание;( h ) — высоту трапеции;( c ) — боковую сторону, которая равна меньшему основанию: ( c = a ).В равнобедренной трапеции проведем высоты из концов меньшего основания. Эти высоты будут равны и перпендикулярны основаниям.Обозначим концы меньшего основания как ( A ) и ( B ), а концы большего основания как ( C ) и ( D ).Боковые стороны ( AC ) и ( BD ) равны ( c = a ). Угол между боковой стороной и основанием ( <CAB = 70^\circ ).

Теперь мы можем построить треугольник ( ACD ):

Применим к этому треугольнику тригонометрические функции. Мы знаем угол ( \alpha = 70^\circ ) и можем использовать ( \sin ) и ( \cos ) для нахождения высоты ( h ) и основания ( AC ).

Высота ( h ) будет равна ( h = a \cdot \sin(70^\circ) ).

Теперь давайте найдем длину отрезка, который отступает от конца большего основания к высоте. Этот отрезок равен ( x ):

( x = a \cdot \cos(70^\circ) ).

С учетом всего этого, мы можем выразить разницу между большими и меньшими основаниями, как:

[
b - a = 2x = 2(a \cdot \cos(70^\circ)).
]

Подставим ( b = 10 ) см:

[
10 - a = 2(a \cdot \cos(70^\circ)).
]

Теперь выразим ( a ):

[
10 - a = 2a \cdot \cos(70^\circ),
]
[
10 = a + 2a \cdot \cos(70^\circ),
]
[
10 = a(1 + 2 \cdot \cos(70^\circ)).
]

Теперь можем найти ( a ):

[
a = \frac{10}{1 + 2 \cdot \cos(70^\circ)}.
]

Теперь подставим значение ( \cos(70^\circ) ) (примерно 0.3420):

[
a \approx \frac{10}{1 + 2 \cdot 0.3420} \approx \frac{10}{1 + 0.684} \approx \frac{10}{1.684} \approx 5.93 \text{ см}.
]

Таким образом, меньшее основание равнобедренной трапеции примерно равно 5.93 см.