Для решения данной системы уравнений:

Первое уравнение:
[
x^2 = 7y + 2
]
Это уравнение можно выразить в виде:
[
7y = x^2 - 2 \implies y = \frac{x^2 - 2}{7}
]

Второе уравнение:
[
x^2 + 2 = 7y + y^2
]
Подставим выражение для ( y ) из первого уравнения в это уравнение:
[
x^2 + 2 = 7\left(\frac{x^2 - 2}{7}\right) + \left(\frac{x^2 - 2}{7}\right)^2
]

Теперь преобразуем:

[
x^2 + 2 = (x^2 - 2) + \left(\frac{x^2 - 2}{7}\right)^2
]
[
x^2 + 2 = x^2 - 2 + \left(\frac{(x^2 - 2)^2}{49}\right)
]
Упростим:
[
2 = -2 + \left(\frac{(x^2 - 2)^2}{49}\right)
]
Переносим (-2) в другую сторону:
[
4 = \frac{(x^2 - 2)^2}{49}
]
Умножаем обе стороны на 49:
[
196 = (x^2 - 2)^2
]
Теперь извлекаем квадратный корень:
[
x^2 - 2 = 14 \quad \text{или} \quad x^2 - 2 = -14
]
Рассмотрим оба случая:

Первый случай:
[
x^2 - 2 = 14 \implies x^2 = 16 \implies x = 4 \quad \text{или} \quad x = -4
]

Второй случай:
[
x^2 - 2 = -14 \implies x^2 = -12
]
Здесь ( x^2 ) не может быть отрицательным, значит, нет действительных корней.

Теперь подставим полученные значения ( x ) в уравнение для ( y ):

Для ( x = 4 ):
[
y = \frac{4^2 - 2}{7} = \frac{16 - 2}{7} = \frac{14}{7} = 2
]

Для ( x = -4 ):
[
y = \frac{(-4)^2 - 2}{7} = \frac{16 - 2}{7} = \frac{14}{7} = 2
]

Итак, у нас два решения:
[
(x, y) = (4, 2) \quad \text{и} \quad (x, y) = (-4, 2)
]

Ответ: Система уравнений имеет два решения: ((4, 2)) и ((-4, 2)).