Уравнение окружности можно записать в стандартной форме:

[
(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2
]

где ((x_0, y_0)) — координаты центра окружности, а (r) — радиус окружности.

В данном случае центр окружности (O(-1; 3)), значит (x_0 = -1) и (y_0 = 3).

Для нахождения радиуса (r) воспользуемся расстоянием от центра окружности до точки (A(5; -2)). Формула для расстояния между двумя точками ((x_1, y_1)) и ((x_2, y_2)) выглядит так:

[
d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}
]

В нашем случае:

[
d = \sqrt{(5 - (-1))^2 + (-2 - 3)^2} = \sqrt{(5 + 1)^2 + (-5)^2} = \sqrt{6^2 + (-5)^2} = \sqrt{36 + 25} = \sqrt{61}
]

Таким образом, радиус (r) равен (\sqrt{61}).

Теперь подставим координаты центра и радиус в уравнение окружности:

[
(x + 1)^2 + (y - 3)^2 = 61
]

Это и есть уравнение окружности с центром в точке (O(-1, 3)) и проходящей через точку (A(5, -2)).