Чтобы определить, при каких значениях (x) имеет смысл выражение (\sqrt{x^2 - 2x - 80}), необходимо найти значения (x), при которых подкоренное выражение неотрицательно:

[
x^2 - 2x - 80 \geq 0.
]

Для этого сначала найдем корни квадратного уравнения (x^2 - 2x - 80 = 0). Используем формулу для нахождения корней:

[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}.
]

Здесь (a = 1), (b = -2) и (c = -80):

[
x = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-80)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 320}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{324}}{2} = \frac{2 \pm 18}{2}.
]

Теперь найдем корни:

(x_1 = \frac{20}{2} = 10),(x_2 = \frac{-16}{2} = -8).

Корни уравнения: (x_1 = 10) и (x_2 = -8).

Решим неравенство (x^2 - 2x - 80 \geq 0). Парабола, заданная уравнением, открывается вверх, так как коэффициент при (x^2) положителен. Парабола будет выше оси (x) (положительной) вне промежутков между корнями.

Таким образом, (x^2 - 2x - 80 \geq 0) выполняется при:

[
x \leq -8 \quad \text{или} \quad x \geq 10.
]

Ответ: (x \leq -8; x \geq 10).