Обозначим возраст художника как ( H ), а средний возраст учеников как ( S ). Пусть количество учеников равно ( n ).

Согласно условиям задачи, у нас есть следующие уравнения:

( H = S + 50 ) (возраст художника на 50 лет больше среднего возраста учеников)( H = \frac{H + nS}{n + 1} + 40 ) (возраст художника на 40 лет больше среднего возраста себя и учеников вместе)

Первое уравнение можем переписать:

[ H - S = 50 \implies H = S + 50. ]

Теперь подставим ( H ) во второе уравнение:

[ S + 50 = \frac{(S + 50) + nS}{n + 1} + 40. ]

Упростим правую часть:

[ S + 50 = \frac{S + 50 + nS}{n + 1} + 40. ]

Объединим ( S ) и ( nS ):

[ S + 50 = \frac{(n + 1)S + 50}{n + 1} + 40. ]

Умножим обе стороны на ( n + 1 ):

[ (n + 1)(S + 50) = (n + 1)((n + 1)S + 50) + 40(n + 1). ]

Раскроем скобки:

[ (n + 1)S + 50n + 50 = (n + 1)S + 50 + 40(n + 1). ]

Теперь сокращаем ( (n + 1)S ):

[ 50n + 50 = 50 + 40n + 40. ]

Соберем все термины с ( n ):

[ 50n + 50 = 40n + 90. ]

Переносим все на одну сторону:

[ 50n - 40n = 90 - 50. ]

Это упрощается до:

[ 10n = 40 \implies n = 4. ]

Таким образом, количество учеников у старого художника равно ( 4 ).