Чтобы найти область значения функции ( y = \sqrt{4x + 12x^2} ), сначала упростим подкоренное выражение:

[ y = \sqrt{4x + 12x^2} = \sqrt{4x(3x + 1)}. ]

Для того чтобы выражение под корнем было определено, необходимо, чтобы ( 4x(3x + 1) \geq 0 ).

Рассмотрим выражение ( 4x(3x + 1) ):

Первый множитель: ( 4x ) ≥ 0, что означает ( x \geq 0 ).Второй множитель: ( 3x + 1 ) ≥ 0, что означает ( x \geq -\frac{1}{3} ).

Теперь мы можем решить неравенство ( 4x(3x + 1) \geq 0 ).

Рассмотрим два случая:

( x = 0 ): Тогда ( 4x(3x + 1) = 0 ).

( x < 0 ): Здесь нужно исследовать знак выражения. Мы знаем, что при ( x < 0 ), ( 4x ) отрицательно, а ( 3x + 1 ) будет отрицательным для ( x < -\frac{1}{3} ) и положительным для ( x > -\frac{1}{3} ). Таким образом, при ( -\frac{1}{3} < x < 0 ) выражение будет положительным.

Итак, ( 4x(3x + 1) ) положительно, когда:

( x < -\frac{1}{3} ), либо( x = 0 ), либо( -\frac{1}{3} < x < 0 ).

Объединив все случаи, область определения функции ( 4x(3x + 1) \geq 0 ) — это интервал:

[ x \in \left[-\frac{1}{3}, +\infty\right). ]

Подставляя эти значения в функцию ( y ):

При ( x = 0 ) имеем ( y = \sqrt{0} = 0 ).При ( x \to +\infty ) имеем ( y \to +\infty ).При ( x = -\frac{1}{3} ):

[
y = \sqrt{4 \left(-\frac{1}{3}\right) + 12\left(-\frac{1}{3}\right)^2} = \sqrt{-\frac{4}{3} + 12 \cdot \frac{1}{9}} = \sqrt{-\frac{4}{3} + \frac{4}{3}} = \sqrt{0} = 0.
]

Таким образом, область значений функции ( y = \sqrt{4x + 12x^2} ) будет равна:

[
[0, +\infty).
]