Для того чтобы найти площадь фигуры, ограниченной линиями ( y = -x^2 - 4x ) и ( y = x - 4 ), сначала нужно найти точки пересечения этих двух кривых.

Рассмотрим уравнение, приравняв оба выражения:

[
-x^2 - 4x = x - 4
]

Переносим все в одну часть уравнения:

[
-x^2 - 4x - x + 4 = 0
]

Упрощаем:

[
-x^2 - 5x + 4 = 0
]

Умножаем на (-1):

[
x^2 + 5x - 4 = 0
]

Теперь используем дискриминант для нахождения корней:

[
D = b^2 - 4ac = 5^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-4) = 25 + 16 = 41
]

Корни уравнения будут:

[
x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-5 \pm \sqrt{41}}{2}
]

Таким образом, точки ( x_1 ) и ( x_2 ) равны:

[
x_1 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2}, \quad x_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2}
]

Теперь, подставив эти значения ( x_1 ) и ( x_2 ) в одно из уравнений, найдем соответствующие ( y )-координаты. Например, используем ( y = x - 4 ):

[
y_1 = \frac{-5 - \sqrt{41}}{2} - 4 = \frac{-5 - \sqrt{41} - 8}{2} = \frac{-13 - \sqrt{41}}{2}
]

[
y_2 = \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} - 4 = \frac{-5 + \sqrt{41} - 8}{2} = \frac{-13 + \sqrt{41}}{2}
]

Теперь, чтобы найти площадь между двумя кривыми, используем интеграл:

[
P = \int_{x_1}^{x_2} \left( (x - 4) - (-x^2 - 4x) \right) \, dx
]

Упрощая внутри интеграла:

[
P = \int_{x_1}^{x2} \left( x - 4 + x^2 + 4x \right) \, dx = \int{x_1}^{x_2} \left( x^2 + 5x - 4 \right) \, dx
]

Теперь вычислим интеграл. Сначала найдем первообразную:

[
\int (x^2 + 5x - 4) \, dx = \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x
]

Теперь подставляем пределы интегрирования ( x_1 ) и ( x_2 ):

[
P = \left[ \frac{x^3}{3} + \frac{5x^2}{2} - 4x \right]_{x_1}^{x_2}
]

Подставляем ( x_2 ):

[
P(x_2) = \frac{ \left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \right)^3 }{3} + \frac{5 \left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \right)^2}{2} - 4 \left( \frac{-5 + \sqrt{41}}{2} \right)
]

И аналогично для ( x_1 ).

После вычислений вы можете найти площадь P.

Теперь давайте нарисуем график ограничивающих кривых. Для этого можно использовать разные инструменты, например Python с библиотекой matplotlib, но визуализация графика не поддерживается текстовым форматом. Если есть возможность, попробуйте построить график самостоятельно.

На графике:

Кривая ( y = -x^2 - 4x ) — это парабола, открытая вниз.Линия ( y = x - 4 ) — это прямая.

Фигура, о которой идет речь, будет находиться между этими двумя кривыми.