Для решения задачи рассмотрим сначала треугольники ( MAB ) и ( MAC ), а затем найдем длину стороны квадрата ( ABCD ) и площадь треугольника ( ABD ).

1. Прямоугольные треугольники:

Треугольник MAB:

В треугольнике ( MAB ) ( MB ) образует угол ( 60^\circ ) с плоскостью квадрата ( ABCD ). Так как ( MD ) перпендикулярен плоскости квадрата, угол ( MAB ) также равен ( 90^\circ ) (по определению перпендикуляра).Таким образом, треугольник ( MAB ) является прямоугольным.

Треугольник MAC:

Аналогично, в треугольнике ( MAC ) также будет угол ( MAB = 90^\circ ), потому что ( MA ) и ( MD ) также перпендикулярны плоскости.Следовательно, треугольник ( MAC ) тоже является прямоугольным.

Таким образом, оба треугольника ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.

2. Найдем сторону квадрата ABCD:

Обозначим сторону квадрата как ( a ). Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) имеют высоту ( MD = 6 ) см и угол ( 60^\circ ).
Используем соотношение в прямоугольном треугольнике ( MAB ):

[
\tan(60^\circ) = \frac{MB}{AB}
]

Из тригонометрических соотношений знаем, что:

[
\tan(60^\circ) = \sqrt{3}
]

Следовательно:

[
\sqrt{3} = \frac{MB}{a}
]

Мы также можем выразить ( MB ) через ( MD ) и угол ( 60^\circ ):
[
MB = MD \cdot \tan(60^\circ) = 6 \cdot \sqrt{3}
]

Теперь подставляем это значение в уравнение:

[
\sqrt{3} = \frac{6 \sqrt{3}}{a}
]

Умножаем обе стороны на ( a ):
[
\sqrt{3} a = 6 \sqrt{3}
]

Делим обе стороны на ( \sqrt{3} ):
[
a = 6 \text{ см}
]

3. Найдем площадь треугольника ABD:

Площадь треугольника ( ABD ) можно найти по формуле:

[
S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AD
]

Стороны ( AB ) и ( AD ) равны ( a ), где ( a = 6 ) см:

[
S = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 6 = \frac{1}{2} \cdot 36 = 18 \text{ см}^2
]

Ответы:Треугольники ( MAB ) и ( MAC ) являются прямоугольными.Сторона квадрата ( ABCD ) равна ( 6 ) см.Площадь треугольника ( ABD ) равна ( 18 \text{ см}^2 ).